关于图的 $A_\alpha$-矩阵的特征值及其能量

对于图 $G$，广义邻接矩阵 $A_\alpha(G)$ 是对角矩阵 $D(G)$ 与邻接矩阵 $A(G)$ 的凸组合，定义为 $A_\alpha(G)=\alpha D(G)+(1-\alpha) A(G)$，其中 $0\leq \alpha \leq 1$。该矩阵已被发现可用于合并图 $G$ 的 $A(G)$ 与无符号拉普拉斯矩阵 $Q(G)$ 的谱理论。广义邻接能量或 $A_\alpha$-能量是 $G$ 的 $A_\alpha$-特征值的绝对平均偏差，定义为 $E(A_\alpha(G))=\sum_{i=1}^{n}|p_i-\frac{2\alpha m}{n}|$，其中 $p_i$ 为 $G$ 的 $A_\alpha$-特征值。本文研究强正则图 $G$ 的 $A_\alpha$-特征值。我们观察到 $A_\alpha$-谱半径 $p_1$ 满足 $\delta(G)\leq p_1 \leq \Delta(G)$，其中 $\delta(G)$ 和 $\Delta(G)$ 分别为 $G$ 的最小和最大度。进一步，我们证明完全图是唯一恰有两个不同 $A_\alpha$-特征值的图。我们得到了 $A_\alpha$-能量关于 $G$ 的阶、边数和极值度的上下界，并讨论了这些边界的极值情形。