图的 $A_{\alpha}$-谱

设 $G$ 为一个图，其邻接矩阵为 $A(G)$，$D(G)$ 为 $G$ 的度对角矩阵。对于任意实数 $\alpha\in [0,1]$，Nikiforov \cite{VN1} 定义了矩阵 $A_{\alpha}(G)$ 为 $$A_{\alpha}(G)=\alpha D(G)+(1-\alpha)A(G).$$ 本文给出了关于 $\alpha>1/2$ 时 $A_{\alpha}(G)$ 特征值的一些结果。特别地，我们证明了对每个 $e\notin E(G)$，有 $\lambda_i(A_{\alpha}(G+e))\geq\lambda_i(A_{\alpha}(G))$。利用该结果，我们证明对于 $2\leq k\leq n$ 有 $\lambda_k(A_{\alpha}(G))\leq\alpha n-1$。此外，我们刻画了等号成立的极值图。最后，我们证明若 $G$ 不含孤立顶点，则 $\lambda_n(A_{\alpha}({G}))\geq 2\alpha-1$。