关于 $A_\alpha (G)$ 正半定性的注记

设 $G$ 为具有邻接矩阵 $A(G)$ 的图，并令 $D(G)$ 为 $G$ 的度对角矩阵。对于每个实数 $\alpha\in\left[ 0,1\right]$，记 $A_{\alpha}\left( G\right)$ 为矩阵 $$A_{\alpha}\left( G\right) =\alpha D\left( G\right) +(1-\alpha)A\left( G\right) .$$ 令 $\alpha_{0}\left( G\right)$ 为使 $A_{\alpha}(G)$ 正半定所需的最小 $\alpha$。已知 $\alpha_{0}\left( G\right) \leq1/2$。本文的主要结果为：(1) 若 $G$ 是 $d$-正则的，则 $$\alpha_{0}=\frac{-\lambda_{\min}(A(G))}{d-\lambda_{\min}(A(G))},$$ 其中 $\lambda_{\min}(A(G))$ 是 $A(G)$ 的最小特征值；(2) $G$ 包含一个二部分支当且仅当 $\alpha_{0}\left( G\right) =1/2$；(3) 若 $G$ 是 $r$-可着色的，则 $\alpha_{0}\left( G\right) \geq1/r$。