与有界秩半正定矩阵补全相关的一个新图参数

图 $G$ 的 Gram 维数 $\gd(G)$ 是最小的整数 $k\ge 1$，使得任何部分实对称矩阵（其元素在对角线上以及与 $G$ 的边对应的非对角位置上被指定）能够被补全为秩至多为 $k$ 的半正定矩阵（假设存在半正定补全）。对于任何固定的 $k$，满足 $\gd(G) \le k$ 的图类是次闭的，因此可以通过有限的禁用次子列表来刻画。我们证明，对于 $k\le 3$，唯一的极小禁用次子是 $K_{k+1}$；对于 $k=4$，有两个极小禁用次子：$K_5$ 和 $K_{2,2,2}$。我们还展示了其与图的欧几里得实现以及文献 \cite{H03} 中的图参数 $\nu^=(G)$ 之间的密切联系。具体而言，我们对 $\gd(G)\le 4$ 的图的刻画蕴含了 Belk 和 Connelly \cite{Belk,BC} 对 3-可实现图的禁用次子刻画，以及 van der Holst \cite{H03} 对 $\nu^=(G) \le 4$ 的图的禁用次子刻画。