关于图的符号 (全) $k$-支配数

设 $k$ 为正整数，$G=(V,E)$ 为最小度至少为 $k-1$ 的图。若函数 $f:V\rightarrow \{-1,1\}$ 满足对所有 $v\in V$ 有 $\sum_{u\in N_G[v]}f(u)\geq k$，则称其为 $G$ 的\emph{符号 $k$-支配函数}。$G$ 的\emph{符号 $k$-支配数}是取遍 $G$ 的所有符号 $k$-支配函数时 $\sum_{v\in V}f(v)$ 的最小值。通过在定义中将闭邻域 $N_G[v]$ 改为开邻域 $N_G(v)$，可以类似地定义 $G$ 的\emph{符号全 $k$-支配函数}和\emph{符号全 $k$-支配数}。\emph{上符号 $k$-支配数}是取遍 $G$ 的所有\emph{极小}符号 $k$-支配函数时 $\sum_{v\in V}f(v)$ 的最大值。在本文中，我们从算法复杂度和图论角度研究了这些图参数。我们证明了对于每个固定的 $k\geq 1$，计算这三个参数的问题均为 \NP-难。我们还针对一般图，根据其最小度和最大度，给出了符号 $k$-支配数和符号全 $k$-支配数的尖锐下界，推广了关于符号支配的若干已知结果。