图的罗马$k$-元控制数

对于任意整数$k\geq 1$和任意最小度至少为$k-1$的图$G=(V,E)$，若函数$f:V\rightarrow \{0,1,2\}$满足：对任意满足$f(v)=0$的顶点$v$，其邻域中至少有$k$个顶点$w$使得$f(w)=2$；且对任意满足$f(v)\neq 0$的顶点$v$，其邻域中至少有$k-1$个顶点$w$使得$f(w)=2$，则称$f$为$G$上的罗马$k$-元控制函数。图$G$上罗马$k$-元控制函数$f$的最小权重（其中$f$的权重定义为$f(V)=\sum_{v\in V}f(v)$）称为该图的罗马$k$-元控制数。本文启动了关于图的罗马$k$-元控制数的研究，给出了图的罗马$k$-元控制数、图的 Mycielskian 以及冠图（corona graphs）的罗马$k$-元控制数的一些紧界。此外，确定某些已知图的罗马$k$-元控制数也是我们的目标之一。我们的一些结果推广了 Cockayne 等人于 2004 年给出的关于罗马控制数的结果。