图的独立 [k] -罗马支配

给定函数 $f\colon V(G) \to \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 上的图 $G$，$AN(v)$ 表示在 $f$ 下具有正标签的 $v \in V(G)$ 的邻居集合。在 2021 年，Ahangar 等人引入了 [k] -罗马支配函数（[k] -RDF）的概念，这是函数 $f\colon V(G) \to \{0,1,\ldots,k+1\}$，满足 $\sum_{u \in N[v]}f(u) \geq k + |AN(v)|$ 对所有 $v \in V(G)$ 且 $f(v)<k$。函数 $f$ 的权重为 $\sum_{v \in V(G)}f(v)$。[k] -罗马支配数记作 $\gamma_{[kR]}(G)$，为 $G$ 的 [k] -RDF 的最小权重。当 $k=1$ 时的 [k] -RDF 从 2004 年 Cockayne 等人提出罗马支配后，已在科学文献中广泛研究。独立 [k] -罗马支配函数（[k] -IRDF）是满足图 $G$ 的 [k] -RDF，且具有正标签的顶点集合为独立集的函数。图的独立 [k] -罗马支配数为 [k] -IRDF 的最小权重，记作 $i_{[kR]}(G)$。本文提出研究任意 $k \geq 1$ 时图的独立 [k] -罗马支配问题。我们证明，对所有 $k \geq 3$，与 $i_{[kR]}(G)$ 和 $\gamma_{[kR]}(G)$ 相关的决策问题对于最大度为 3 的平面二分图是 NP-完全的。我们还给出 $i_{[kR]}(G)$ 的下界和上界。此外，我们给出两类 3 正则图——广义 Blanu\v{s}a 纱图和 Loupekine 纱图的 $i_{[kR]}(G)$ 参数的下界和上界。