关于图中的罗马{2}-控制问题的一个注记

对于图$G=(V,E)$，罗马$\{2\}$-控制函数(R2DF)$f:V\rightarrow \{0,1,2\}$具有如下性质：对于每一个满足$f(v)=0$的顶点$v\in V$，要么存在邻居$u\in N(v)$使得$f(u)=2$，要么至少存在两个邻居$x,y\in N(v)$满足$f(x)=f(y)=1$。R2DF的权为和$f(V)=\sum_{v\in V}{f(v)}$，而R2DF的最小权为罗马$\{2\}$-控制数$\gamma_{\{R2\}}(G)$。若取正函数值的顶点集合是独立集，则R2DF是独立的。独立罗马$\{2\}$-控制数$i_{\{R2\}}(G)$是$G$上独立罗马$\{2\}$-控制函数的最小权。本文中，我们证明与$\gamma_{\{R2\}}(G)$相关的判定问题即使是限制在分裂图上也是NP完全的。我们设计了一个线性时间算法来计算任意树$T$的$i_{\{R2\}}(T)$值。这回答了Rahmouni和Chellali提出的一个开放问题[Independent Roman $\{2\}$-domination in graphs, Discrete Applied Mathematics 236 (2018), 408-414]。Chellali、Haynes、Hedetniemi和McRae \cite{chellali2016roman}已证明罗马$\{2\}$-控制数可在线性时间内对树类计算。作为推广，我们给出了一个在块图中求解罗马$\{2\}$-控制问题的线性时间算法。