树上的双意大利统治

设 $G$ 为图，顶点集为 $V=V(G)$。图 $G$ 的双罗马尼亚支配函数是函数 $f : V \to \{0,1,2,3\}$，满足条件：若 $f(v) = 0$，则顶点 $v$ 必须至少有两个邻居在 $V_2$ 或一个邻居在 $V_3$；若 $f(v) = 1$，则顶点 $v$ 必须至少有一个邻居在 $V_2 \cup V_3$。双罗马尼亚支配函数 $f$ 的权重为 $f(V) = \sum_{v \in V} f(v)$，双罗马尼亚支配数 $\gamma_{dR}(G)$ 为所有双罗马尼亚支配函数的最小权重。图 $G$ 的双意大利支配函数是函数 $f : V \to \{0,1,2,3\}$，满足条件：对图 $G$ 中的每个顶点 $u \in V$，若 $f(u) \in \{0,1\}$，则 $\sum_{v \in N[u]} f(v) \ge 3$。双意大利支配数 $\gamma_{dI}(G)$ 为所有双意大利支配函数的最小权重。Mojdeh 和 Volkmann [D.A. Mojdeh 和 L. Volkmann, Roman {3}-支配（双意大利支配），Discrete Appl. Math. 283 (2020)，555--564] 证明对任意树 $T$，$\gamma_{dI}(T) = \gamma_{dR}(T)$。然而，我们发现该证明存在细微问题。本文首先证明 $\gamma_{dI}(T) \neq \gamma_{dR}(T)$。随后，我们给出任意非平凡树 $T$ 的双意大利支配数的尖锐下界，并描述实现该下界的树的特征。