树中的受限意大利支配

设 $G=(V,E)$ 为一图。若 $V \setminus D$ 中每个顶点都与 $D$ 中一个顶点及 $V \setminus D$ 中一个顶点相邻，则 $V$ 的子集 $D$ 称为\textit{受限支配集}。\textit{受限支配数}记为 $\gamma_r(G)$，是 $G$ 的受限支配集的最小基数。函数 $f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$ 称为 $G$ 上的\textit{受限意大利支配函数}，若 (i) 对每个满足 $f(v)=0$ 的顶点 $v \in V$，有 $\sum_{u \in N_G(v)} f(u) \geq 2$；(ii) 由 $\{v \in V \mid f(v)=0 \}$ 诱导的子图无孤立顶点。\textit{受限意大利支配数}记为 $\gamma_{rI}(G)$，是所有受限意大利支配函数中取的最小权值。已知对任意图 $G$ 有 $\gamma_r(G) \leq \gamma_{rI}(G) \leq 2\gamma_r(G)$。本文刻画了满足 $\gamma_r(T) = \gamma_{rI}(T)$ 的树 $T$，并刻画了满足 $\gamma_{rI}(T) = 2\gamma_r(T)$ 的树 $T$。