图中的覆盖意大利控制

对于图 $G=(V(G),E(G))$，图 $G$ 的意大利控制函数（ID函数）是一个函数 $f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$，使得对于每个满足 $f(v)=0$ 的顶点 $v\in V(G)$，有 $f(N(v))\geq2$，即要么存在一个顶点 $u \in N(v)$ 满足 $f(u) = 2$，要么存在两个顶点 $x,y\in N(v)$ 满足 $f(x)=f(y)=1$。函数 $f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$ 是图 $G$ 的覆盖意大利控制函数（CID函数），如果 $f$ 是一个ID函数且 $\{v\in V(G)\mid f(v)\neq0\}$ 是一个顶点覆盖集。覆盖意大利控制数（CID数）$\gamma_{cI}(G)$ 是图 $G$ 的所有CID函数中的最小权重。在本文中，我们研究了图中的CID数。我们证明了即使限制在某些著名的图族上，计算该参数的问题也是NP困难的，并找到了该参数的一些界限。我们刻画了CID数达到其顶点覆盖数两倍上界的图族，以及CID数达到其阶数一半下界的所有无爪图。我们还给出了具有较小或较大CID数的一些图族的刻画。