图中的约束意大利控制

对于图 $G=(V(G),E(G))$，意大利控制函数（ID 函数）$f:V(G)\rightarrow\{0,1,2\}$ 满足如下性质：对每个 $f(v)=0$ 的顶点 $v\in V(G)$，要么 $v$ 邻接于在 $f$ 下赋值为 $2$ 的顶点，要么 $v$ 至少邻接于两个在 $f$ 下赋值为 $1$ 的顶点。ID 函数的权为 $\sum_{v\in V(G)}f(v)$。意大利控制数是 $G$ 的所有 ID 函数的最小权。本文开创性地研究 ID 函数的一个变体。图 $G$ 的约束意大利控制函数（RID 函数）$f$ 是 $G$ 的一个 ID 函数，且由 $\{v\in V(G)\mid f(v)=0\}$ 导出的子图无孤立顶点；约束意大利控制数 $\gamma_{rI}(G)$ 为 $G$ 的所有 RID 函数的最小权。我们首先证明计算该参数的问题是 NP-难的，即便限制在二部图、弦图以及最大度为五的平面图时亦然。我们证明对于阶 $n\geq3$ 且异于双星 $S_{2,2}$ 的树 $T$，$\gamma_{rI}(T)$ 有下界 $(n+3)/2$。此外，本文刻画了该下界的所有极图树。我们还给出了该参数在一般图上的若干紧界，并刻画了具有较小或较大 $\gamma_{rI}(G)$ 的图 $G$。