广义 Petersen 图中的意大利控制

在图 $G=(V,E)$ 中，每个顶点 $v\in V$ 被标以 $0$、$1$ 或 $2$，使得每个标为 $0$ 的顶点至少与一个标为 $2$ 的顶点或两个标为 $1$ 的顶点相邻。此类标号称为 $G$ 的意大利控制函数（IDF）。IDF $f$ 的权为 $w(f)=\sum_{v\in V}f(v)$。$G$ 的意大利控制数为 $\gamma_{I}(G)=\min_{f} w(f)$。Gao 等人（2019）已确定了 $\gamma_I(P(n,3))$ 的值。在本文中，我们聚焦于广义 Petersen 图 $P(n, k)$（$k\neq3$）的意大利控制数研究。我们确定了 $\gamma_I(P(n, 1))$、$\gamma_I(P(n, 2))$ 以及当 $k\ge4$、$k\equiv2,3(\bmod5)$ 且 $n\equiv0(\bmod5)$ 时 $\gamma_I(P(n, k))$ 的值。对于其他 $P(n,k)$，我们给出了 $\gamma_I(P(n, k))$ 的界。利用所得结果，我们通过给出 $P(n,1)$ 是满足 $\gamma_I=\gamma_{r2}$ 的实例，并刻画满足 $\gamma_I(P(n,2))=\gamma_{r2}(P(n,2))$ 的 $P(n,2)$，部分解决了 Bre\v{s}ar 等人（2007）提出的开放问题。此外，我们的结果意味着 $P(n,1)$（$n\equiv0(\bmod\ 4)$）是 Italian 的，$P(n,1)$（$n\not\equiv0(\bmod\ 4)$）与 $P(n,2)$ 不是 Italian 的。