有向图的全意大利控制数

考虑一个有限简单有向图 $D$，其顶点集为 $V(D)$。$D$ 上的一个意大利控制函数 (IDF) 是一个函数 $f:V(D)\rightarrow\{0,1,2\}$，满足每个满足 $f(u)=0$ 的顶点 $u$ 都有一个满足 $f(v)=2$ 的入邻点 $v$，或者两个满足 $f(w)=f(z)=1$ 的入邻点 $w$ 和 $z$。$D$ 上的一个全意大利控制函数 (TIDF) 是一个 IDF $f$，使得子有向图 $D[\{ u\, |\, f(u)\ge 1\}]$ 不包含孤立顶点。$D$ 上 TIDF $f$ 的权重 $\omega(f)$ 为 $\sum_{u\in V(D)}f(u)$。$D$ 的全意大利控制数定义为 \gamma_{tI}(D)=\min\{ \omega(f)\, |\, \mbox{f$是$D 上的 TIDF}\}。本文给出了 $\gamma_{tI}(D)$ 的界，并研究了几个不同控制参数之间的关系。特别地，我们给出了笛卡尔积 $P_2\Box P_n$ 和 $P_3\Box P_n$ 的全意大利控制数，其中 $P_n$ 表示具有 $n$ 个顶点的有向路径。