从词典积图的意大利支配到图的 w-支配

在本文中，我们证明每个词典积图 $G\circ H$ 的意大利支配数可用 $G$ 的五个不同支配参数表示。这些参数可在如下统一方法下定义，该方法涵盖了若干知名支配参数的定义并引入新参数。令 $N(v)$ 表示 $v\in V(G)$ 的开邻域，令 $w=(w_0,w_1, \dots,w_l)$ 为非负整数向量且 $w_0\ge 1$。我们说函数 $f: V(G)\longrightarrow \{0,1,\dots ,l\}$ 是 $w$-支配函数，如果对每个满足 $f(v)=i$ 的顶点 $v$ 有 $f(N(v))=\sum_{u\in N(v)}f(u)\ge w_i$。$f$ 的权定义为 $\omega(f)=\sum_{v\in V(G)} f(v)$。$G$ 的 $w$-支配数记为 $\gamma_{w}(G)$，是 $G$ 上所有 $w$-支配函数的最小权。若按需对 $G$ 的最小度施加限制，在此方法下我们可定义例如支配数、全支配数、$k$-支配数、$k$-重支配数、$k$-重全支配数、意大利支配数、全意大利支配数以及 $\{k\}$-支配数。具体地，我们证明 $\gamma_{I}(G\circ H)=\gamma_{w}(G)$，其中 $w\in \{2\}\times\{0,1,2\}^{l}$ 且 $l\in \{2,3\}$。对于 $w_0,\dots,w_l$ 特定值等式是否成立，将取决于 $H$ 的支配数的值。本文还给出关于 $\gamma_{w}(G)$ 的初步结果，并提出开展该主题详细研究的挑战。