从图中的（安全）w-支配到词典积图的保护

设 $w=(w_0,w_1, \dots,w_l)$ 为一非负整数向量，满足 $w_0\ge 1$。设 $G$ 为一图，$N(v)$ 为 $v\in V(G)$ 的开邻域。称函数 $f: V(G)\longrightarrow \{0,1,\dots ,l\}$ 为 $w$-支配函数，若对每一满足 $f(v)=i$ 的顶点 $v$ 有 $f(N(v))=\sum_{u\in N(v)}f(u)\ge w_i$。$f$ 的权定义为 $\omega(f)=\sum_{v\in V(G)} f(v)$。给定一 $w$-支配函数 $f$ 及任意两个相邻顶点 $v, u\in V(G)$ 满足 $f(v)=0$ 且 $f(u)>0$，函数 $f_{u\rightarrow v}$ 定义为 $f_{u\rightarrow v}(v)=1$，$f_{u\rightarrow v}(u)=f(u)-1$，且对每一 $x\in V(G)\setminus\{u,v\}$ 有 $f_{u\rightarrow v}(x)=f(x)$。称一 $w$-支配函数 $f$ 为安全 $w$-支配函数，若对每一满足 $f(v)=0$ 的 $v$，存在 $u\in N(v)$ 使得 $f(u)>0$ 且 $f_{u\rightarrow v}$ 亦为一 $w$-支配函数。图 $G$ 的（安全）$w$-支配数，记为（$\gamma_{w}^s(G)$）$\gamma_{w}(G)$，定义为所有（安全）$w$-支配函数中最小的权。本文中，我们展示了词典积图 $G\circ H$ 的安全（全）支配数与（全）弱 Roman 支配数如何与 $\gamma_w^s(G)$ 或 $\gamma_w(G)$ 相关联。对于安全支配数与弱 Roman 支配数的情形，$w$ 是否取特定分量将取决于 $\gamma_{(1,0)}^s(H)$ 的值，而在这些参数的全版本情形中，该决定取决于 $\gamma_{(1,1)}^s(H)$ 的值。