图中的罗马控制与 Mycieleski 结构

对于图 $G=(V,E)$，若对任意满足 $f(v)=0$ 的顶点 $v$，其邻域中至少存在一个满足 $f(w)=2$ 的顶点 $w$，则函数 $f:V\rightarrow \{0,1,2\}$ 称为罗马控制函数（RDF）。图 $G$ 的 RDF $f$ 的权重为值 $f(V)=\sum_{v\in V}f(v)$。图 $G$ 的 RDF 的最小权重为其罗马控制数，记为 $\gamma_ R(G)$。在本文中，我们首先证明 $\gamma_{R}(G)+1\leq \gamma_{R}(\mu (G))\leq \gamma_{R}(G)+2$，其中 $\mu (G)$ 是 $G$ 的 Mycieleski 图，然后刻画了在这些边界中达到等号的图。接着，对于任意正整数 $m$，我们用 $\gamma_R(G)$ 计算了特殊罗马图 $G$ 的 $m$-Mycieleskian 图 $\mu_{m}(G)$ 的罗马控制数。最后，我们给出了几个图来举例说明所讨论的图。