图中的极大双罗马控制

图 $G=(V,E)$ 上的一个极大双罗马控制函数（MDRDF）是一个函数 $f:V(G)\rightarrow \{0,1,2,3\}$，满足 \textrm{(i) }每个满足 $f(v)=0$ 的顶点 $v$ 至少与两个 {赋值为 $2$ 的顶点} 或至少一个 {赋值为 $3$ 的顶点} 相邻，\textrm{(ii) }每个满足 $f(v)=1$ 的顶点 $v$ 至少与一个 {赋值为 $2$ 或 $3$ 的顶点} 相邻，且 \textrm{(iii) }集合 $\{w\in V|~f(w)=0\}$ 不是 $G$ 的一个控制集。一个 MDRDF 的权重是其所有顶点上函数值的总和，而极大双罗马控制数 $\gamma _{dR}^{m}(G)$ 是 $G$ 上 MDRDF 的最小权重。{在本文中，我们开创了对极大双罗马控制的研究。我们首先证明，确定 }$\gamma _{dR}^{m}(G)$ {的问题对于二部图、弦图和平面图是 NP-完全的。但对于包括树、余图和距离遗传图在内的有界团宽图，该问题可在线性时间内求解。此外，我们建立了将 }$\gamma _{dR}^{m}(G)$ 与一些控制参数相关联的各种关系。{对于树类，我们证明对于每个阶为 }$n\geq 4$ 的树 $T$，有 $\gamma _{dR}^{m}(T)\leq \frac{5}{4}n$，并刻画了所有达到该界限的树。最后，给出了路径和圈的 }$\gamma _{dR}^{m}(G)$ {的精确值。