全罗马控制边临界图

图 $G$ 上的一个全罗马控制函数是一个函数 $f:V(G)\rightarrow \{0,1,2\}$，使得每个满足 $f(v)=0$ 的顶点 $v$ 都邻接于某个满足 $f(u)=2$ 的顶点 $u$，且由所有满足 $f(w)>0$ 的顶点 $w$ 所诱导的 $G$ 的子图没有孤立顶点。$f$ 的权为 $\Sigma _{v\in V(G)}f(v)$。全罗马控制数 $\gamma _{tR}(G)$ 是 $G$ 上全罗马控制函数的最小权。若对每条边 $e\in E(\overline{G})\neq \emptyset$ 均有 $\gamma _{tR}(G+e)<\gamma _{tR}(G)=k$，则称图 $G$ 是 $k$-$\gamma _{tR}$-边临界的；若它是 $k$-$\gamma _{tR}$-边临界的且对每条边 $e\in E(\overline{G})\neq \emptyset$ 均有 $\gamma _{tR}(G+e)=\gamma _{tR}(G)-2$，则称其为 $k$-$\gamma _{tR}$-边超临界的。我们给出了关于 $\gamma_{tR}$-边临界图的一些基本结果，并刻画了某些类别的 $\gamma _{tR}$-边临界图。此外，我们证明了当 $k$ 较小时，$k$-$\gamma _{tR}$-边临界图与关于控制数和全控制数临界的图之间存在联系。