关于图的强罗马控制数

基于罗马帝国皇帝君士坦丁颁布的法令——任何无人防守（无军团）的地点必须由拥有两个军团的“更强”邻接地点保护——提出了一个称为图中罗马控制的图论模型。图$G=(V,E)$的罗马控制函数是一个映射$f:V\rightarrow \{0,1,2\}$，使得每个满足$f(v)=0$的顶点$v$在$G$中至少有一个邻点$w$满足$f(w)=2$。图的罗马控制数是罗马控制函数的最小权重$\sum_{v\in V}f(v)$。本文首次研究了一个与罗马控制相关的新参数，称为强罗马控制数，记为$\gamma_{StR}(G)$。我们探讨了在多次同时攻击下的罗马控制型防御策略问题，并首先研究了该不变量的若干数学性质。特别地，我们首先证明了即使限制在二分图上，强罗马控制数的计算决策问题也是NP完全的。我们得到了该参数的若干界，并给出了一些可实现性结果。此外，我们证明了对任意阶数$n\ge 3$的树$T$，有$\gamma_{StR}(T)\le 6n/7$，并刻画了所有极值树。