论图的全局罗马控制问题复杂度

图 $G=(V,E)$ 的罗马控制函数是一个标号 $f: V \rightarrow{} \{0 ,1, 2\}$，使得对于每个满足 $f(u) = 0$ 的顶点 $u \in V$，存在一个顶点 $v \in N(u)$ 满足 $f(v) =2$。若罗马控制函数 $f$ 同时是 $G$ 及其补图 $\overline{G}$ 的罗马控制函数，则称其为全局罗马控制函数。$f$ 的权重是所有顶点 $u \in V$ 上 $f(u)$ 的总和。全局罗马控制问题的目标是找到具有最小权重的全局罗马控制函数。在本文中，我们研究了全局罗马控制问题在各类图上的算法方面，并获得以下结果。1. 我们通过识别出使得其中一个问题可在线性时间内求解而另一个为 NP 完全的图类，证明了罗马控制问题与全局罗马控制问题在计算上不等价。2. 我们证明了全局罗马控制问题在分裂图上是 NP 完全的，从而解决了 Panda 和 Goyal [Discrete Applied Mathematics, 2023] 提出的一个开放问题。3. 我们证明了全局罗马控制问题在弦二部图、最大度为五的平面二部图以及圆图上是 NP 完全的。4. 在正面结果方面，我们提出了一种在余图上求解全局罗马控制问题的线性时间算法。