关于 $\{k\}$-罗马图：识别复杂度及分裂图的情形

对于正整数 $k$，图 $G = (V,E)$ 的 $\{k\}$-罗马支配函数是满足 $f (N(v)) \geq k$ 对每个 $f (v) = 0$ 的顶点 $v\in V$ 的函数 $f: V \rightarrow \{0,1,\ldots,k\}$。每个图 $G$ 满足 $\gamma_{\{Rk\}}(G) \leq k\gamma(G)$，其中 $\gamma_{\{Rk\}}(G)$ 表示 $\{k\}$-罗马支配函数的最小权重，$\gamma(G)$ 为支配数。在本文中，我们研究等式成立的图，称为 \emph{$\{k\}$-罗马图}。这扩展了 Wang 等人于 2021 年研究的 $\{k\}$-罗马树到一般图。我们证明对于每个 $k\geq 3$，识别 $\{k\}$-罗马图的问题是 NP-hard 的，即使限制在分裂图上。我们给出关于哪些分裂图是 $\{2\}$-罗马图的部分答案：我们刻画了能够相对于分裂连接操作分解为两个较小分裂图的 $\{2\}$-罗马分裂图，并对两个特定的分裂图家族中与分裂连接操作素相关的 $\{k\}$-罗马性质进行分类：它们分别是日环和它们的补图。