图的罗马 (k,k)-支配数

设 $k$ 为正整数。图 $G$ 上的罗马 $k$-支配函数是一个标号 $f:V (G)\longrightarrow \{0, 1, 2\}$，使得每个标号为 0 的顶点至少有 $k$ 个标号为 2 的邻点。图 $G$ 上的一组不同的罗马 $k$-支配函数 $\{f_1,f_2,\ldots,f_d\}$，若对每个 $v\in V(G)$ 满足 $\sum_{i=1}^df_i(v)\le 2k$，则称为 $G$ 上的罗马 $(k,k)$-支配族（函数族）。$G$ 上罗马 $(k,k)$-支配族中函数的最大数目称为 $G$ 的罗马 $(k,k)$-支配数，记为 $d_{R}^k(G)$。注意罗马 $(1,1)$-支配数 $d_{R}^1(G)$ 即为通常的罗马支配数 $d_{R}(G)$。本文开创性地研究了图中的罗马 $(k,k)$-支配数，并给出了 $d_{R}^k(G)$ 的紧界。此外，我们确定了某些图的罗马 $(k,k)$-支配数。我们的部分结果推广了 Sheikholeslami 和 Volkmann 在 2010 年关于罗马支配数的结论。