以到簇图距离为参数的（独立）罗马支配问题

给定图$G=(V,E)$，函数$f:V\to \{0,1,2\}$被称为罗马支配函数（RDF），如果对于每个满足$f(v)=0$的$v\in V$，存在一个顶点$u\in N(v)$使得$f(u)=2$。罗马支配函数$f$被称为独立罗马支配函数（IRDF），如果$V_1\cup V_2$构成一个独立集，其中$V_i=\{v\in V~\vert~f(v)=i\}$，$i\in \{0,1,2\}$。$f$的总权重等于$\sum_{v\in V} f(v)$，记为$w(f)$。$G$的罗马支配数（分别地，独立罗马支配数）记为$\gamma_R(G)$（分别地，$i_R(G)$），定义为$\min\{w(f)~\vert~f$是$G$的RDF（分别地，IRDF）$\}$。对于给定图$G$，计算$\gamma_R(G)$（分别地，$i_R(G)$）的问题定义为罗马支配问题（分别地，独立罗马支配问题）。本文研究了（独立）罗马支配问题的结构参数化。我们针对距离簇图$k$个顶点的图，提出了（独立）罗马支配问题的固定参数可解（FPT）算法。这些图有一个大小为$k$的顶点集，移除该集合后得到簇图。我们将$k$称为到簇图的距离。具体地，我们证明了以下结果：当以到簇图的删除距离$k$为参数时，可以在$4^kn^{O(1)}$时间内找到罗马支配数（和独立罗马支配数）。在下界方面，我们表明，除非一个众所周知的猜想SETH不成立，否则对于任何$0<\epsilon<1$，不能在$2^{\epsilon k}n^{O(1)}$时间内计算罗马支配数。此外，我们还表明，以到簇图距离为参数的罗马支配问题不存在多项式核，除非NP $\subseteq$ coNP$/$poly。