图的总罗马捕食数

在无孤立顶点的图 $G$ 上，总罗马支配函数 (TRDF) 是一个函数 $f:V(G)\to\{0,1,2\}$，满足：标记为 0 的每个顶点 $v$ 必须有一个被赋值 2 的邻居，且由集合 $\{v:f(v)>0\}$ 诱导的子图中不存在孤立顶点。总罗马支配数 $\gamma_{tR}(G)$ 为 TRDF 在 $G$ 上的最小权重。总罗马捕食数 $b_{tR}(G)$ 为最小边集合的基数 $E'\subseteq E(G)$，使得 $G-E'$ 无孤立顶点且 $\gamma_{tR}(G-E')>\gamma_{tR}(G)$；若不存在此类 $E'$，则 $b_{tR}(G)=\infty$。我们证明判定 $b_{tR}(G)\leq k$ 为 NP 完全问题。我们给出锐界，包括 $\gamma_{tR}(G)+1\leq \gamma_{tR}(G-B)\leq \gamma_{tR}(G)+2$ 对任意 $b_{tR}(G)$-集 $B$（两者均为锐界），以及在 $\gamma_{tR}(G)=3\beta(G)$ 时 $b_{tR}(G)\geq \max\{\delta(G),b(G)\}$。我们 characterize 具有 $b_{tR}(G)=\infty$ 的图，并给出 $b_{tR}(G)=1$ 的必要充要条件。确定了完全图、完全二分图、棉图、双棉图、轮图和受伤蜘蛛图的精确值。进一步给出以阶、直径、 girth 以及结构特征为界的上限。