双罗马控制函数上的约束条件

我们继续研究图中的约束双罗马控制。对于图 G=\big{(}V(G),E(G)\big{)}，若由 $\{v\in V(G)\mid f(v)=0\}$ 诱导的子图无孤立顶点，则称双罗马控制函数 $f$ 为约束双罗马控制函数（RDRD 函数）。约束双罗马控制数（RDRD 数）$\gamma_{rdR}(G)$ 为 $G$ 的所有 RDRD 函数上最小权值 $\sum_{v\in V(G)}f(v)$。我们首先证明计算 $\gamma_{rdR}$ 的问题是 NP-hard 的，即便对平面图亦如此，但当限制于有界团宽图（如树、余图与距离遗传图）时可在线性时间内求解。本文通过分别用约束控制数 $\gamma_{r}$、控制数 $\gamma$ 与约束罗马控制数 $\gamma_{rR}$ 对一般图的 $\gamma_{rdR}$ 给出下界与上界，研究了 $\gamma_{rdR}$ 与这些知名参数之间的关系。我们证明对任意阶 $n\geq2$ 且 $T\neq K_{1,n-1}$ 的树 $T$ 有 $\gamma_{rdR}(T)\geq n+2$，并刻画了达到下界的全部树族。本文给出了具有较小 RDRD 数图的刻画。