统一邻接、拉普拉斯与无符号拉普拉斯理论

设$G$是一个简单图，其顶点度对角矩阵为$D(G)$，邻接矩阵为$A(G)$，拉普拉斯矩阵为$L(G)$，无符号拉普拉斯矩阵为$Q(G)$。最近，Nikiforov提出了矩阵族$A_\alpha(G)$，对任意实数$\alpha\in [0,1]$定义为$A_\alpha(G):=\alpha\,D(G)+(1-\alpha)\,A(G)$，并指出$A_\alpha(G)$矩阵可以支撑$A(G)$和$Q(G)$的统一理论。受上述定义启发，我们引入$G$的$B_\alpha$-矩阵：$B_\alpha(G):=\alpha A(G)+(1-\alpha)L(G)$，其中$\alpha\in [0,1]$。注意$L(G)=B_0(G)$，$D(G)=2B_{\frac{1}{2}}(G)$，$Q(G)=3B_{\frac{2}{3}}(G)$，$A(G)=B_1(G)$。本文研究$B_\alpha$-矩阵的若干谱性质，以统一图的邻接、拉普拉斯和无符号拉普拉斯矩阵理论。特别地，我们证明$B_\alpha(G)$的每个特征值关于$\alpha$连续。利用这一点，我们用$\alpha$刻画了半正定$B_\alpha$-矩阵。作为推论，我们给出了$G$的独立数的一个上界。此外，我们建立了$B_\alpha(G)$的最大和最小特征值的一些界。由此，我们得到了$G$的色数的一个界，并推导出若干已知结果。另外，我们给出了$B_\alpha$-矩阵特征多项式的一个Sachs型结果。