合并 A-谱与 Q-谱理论

设 $G$ 为一张图，其邻接矩阵为 $A\left( G\right)$，且 $D\left( G\right)$ 为 $G$ 的度矩阵。图 $G$ 的无标号拉普拉斯算子定义为 $Q\left( G\right) :=A\left( G\right) +D\left( G\right)$。Cvetković 称研究邻接矩阵的工作为 $A$-\textit{谱理论}，称研究无标号拉普拉斯的工作为 $Q$\textit{谱理论}。多年来，人们已建立了这两种理论之间的诸多相似性与差异性。为追踪 $A\left( G\right)$ 向 $Q\left( G\right)$ 的渐变，本文建议研究 $A\left( G\right)$ 与 $D\left( G\right)$ 的凸线性组合 $A_{\alpha }\left( G\right)$，其定义为 $$A_{\alpha}\left( G\right) :=\alpha D\left( G\right) +\left( 1-\alpha\right) A\left( G\right) \text{, \ \ }0\leq\alpha\leq1.$$ 这种研究为 $A\left( G\right)$ 和 $Q\left( G\right)$ 提供了新的视角，并产生了一些意外结果，特别是一种新的谱 Turán 定理。讨论了诸多具有挑战性的开放性问题。