关于图的广义距离矩阵谱展

对于简单连通图 $G$,令 $D(G)$、$Tr(G)$、$D^{L}(G)$ 和 $D^{Q}(G)$ 分别为图 $G$ 的距离矩阵、顶点传输度对角矩阵、距离拉普拉斯矩阵和距离无符号拉普拉斯矩阵。 $Tr(G)$ 与 $D(G)$ 的凸线性组合 $D_{\alpha}(G)$ 定义为 $D_{\alpha}(G)=\alpha Tr(G)+(1-\alpha)D(G)$, $0\leq \alpha\leq 1$。由于 $D_{0}(G)=D(G), ~~~ 2D_{\frac{1}{2}}(G)=D^{Q}(G), ~~~ D_{1}(G)=Tr(G)$ 且 $D_{\alpha}(G)-D_{\beta}(G)=(\alpha-\beta)D^{L}(G)$,该矩阵可归并距离谱、距离拉普拉斯谱与距离无符号拉普拉斯谱理论。令 $\partial_{1}(G)\geq \partial_{2}(G)\geq \dots \geq \partial_{n}(G)$ 为 $D_{\alpha}(G)$ 的特征值,并令 $D_{\alpha}S(G)=\partial_{1}(G)-\partial_{n}(G)$ 为图 $G$ 的广义距离谱展。本文得到广义距离谱展 $D_{\alpha}(G)$ 的一些界。我们也得到广义距离谱展 $D_{\alpha}(G)$ 与距离谱展 $S_{D}(G)$ 之间的关系。进一步,我们得到二部图的 $D_{\alpha}S(G)$ 涉及不同图参数的下界,并对若干情形刻画了极值图。我们也得到用图 $G$ 的团数与独立数表示的 $D_{\alpha}S(G)$ 下界,并对若干情形刻画了极值图。