Maximizing the signless Laplacian spectral radius of some theta graphs

设 $Q(G)=D(G)+A(G)$ 为简单图 $G$ 的无向拉普拉斯矩阵，其中 $D(G)$ 和 $A(G)$ 分别为 $G$ 的度矩阵和邻接矩阵。$Q(G)$ 的最大特征值记为 $q(G)$，称为 $G$ 的无向拉普拉斯谱半径。记 $\theta(l_{1},l_{2},l_{3})$ 为由两组互不相交的三条长度为 $l_{1}$、$l_{2}$ 和 $l_{3}$ 的路径连接的同一对顶点所构成的 theta 图。设 $F_{n}$ 为友谊图，由 $\frac{n-1}{2}$ 个三角形组成，这些三角形恰好在一个公共顶点相交，当奇数 $n\geq3$ 时；当偶数 $n\geq4$ 时，通过在 $F_{n-1}$ 的中心悬挂一条边得到。设 $S_{n,k}$ 表示由将 $K_{k}$ 的每个顶点连接到 $n-k$ 个孤立顶点得到的图。设 $S_{n,k}^{+}$ 表示在 $S_{n,k}$ 的两个孤立顶点之间添加一条边得到的图。本文首先证明：若 $G$ 为 $\theta(1,2,2)$-免图，则 $q(G)\leq q(F_{n})$，除非 $G\cong F_{n}$。其次证明：若 $G$ 为 $\theta(1,2,3)$-免图，则 $q(G)\leq q(S_{n,2})$，除非 $G\cong S_{n,2}$。最后证明：若 $G$ 为 $\{\theta(1,2,2),F_{5}\}$-免图，则 $q(G)\leq q(S_{n,1}^{+})$，除非 $G\cong S_{n,1}^{+}$。