Q-指数的最大值：不含 $K_{s,t}$ 的图

本文笔记提出了图 Zarankiewicz 问题的一个新的谱版本：一个阶数为 $n$ 且不包含指定完全二部子图的图，其无符号拉普拉斯矩阵的最大特征值能有多大。文中陈述了一个关于一般完全二部图的猜想，并在无穷多种情形下证明了该猜想。更确切地说，证明了如果 $G$ 是一个阶数为 $n$ 且没有与 $K_{2,s+1}$ 同构的子图的图，那么 $G$ 的无符号拉普拉斯矩阵的最大特征值 $q(G)$ 满足 $$q(G)\leq\frac{n+2s}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(n-2s)^{2}+8s},$$ 当且仅当 $G$ 是 $K_{1}$ 与一个阶数为 $n-1$ 的 $s$-正则图的联图时等号成立。