Laplacian 与无符号 Laplacian 特征值的 Nordhaus--Gaddum 型不等式

设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点的图。我们将 $G$ 的最大无符号 Laplacian 特征值记为 $q_1(G)$，将 $G$ 的 Laplacian 特征值记为 $\mu_1(G)\ge\cdots\ge\mu_{n-1}(G)\ge\mu_n(G)=0$。关于图的 Laplacian 离散度有一个猜想：$\mu_1(G)-\mu_{n-1}(G)\le n-1$，或等价地 $\mu_1(G)+\mu_1(\Gb)\le2n-1$。我们证明了该猜想对二部图成立。此外，我们证明了对任意二部图 $G$，有 $\mu_1(G)\mu_1(\Gb)\le n(n-1)$。Aouchiche 和 Hansen [A survey of Nordhaus--Gaddum type relations, Discrete Appl. Math. 161 (2013), 466--546] 猜想：对任意具有 $n$ 个顶点的图 $G$，有 $q_1(G)+q_1(\Gb)\le3n-4$ 且 $q_1(G)q_1(\Gb)\le2n(n-2)$。我们证明了前者，并通过构造一族图 $H_n$ 否定了后者，其中 $q_1(H_n)q_1(\ov{H_n})$ 约为 $2.15n^2+O(n)$。