两个最大无符号拉普拉斯特征值之和的下界

设 $G$ 是一个阶为 $n \geq 3$ 的图，其度序列为 $d_{1}(G) \geq ... \geq d_{n}(G)$，并设 $\mu_1(G),..., \mu_n(G)$ 和 $q_1(G), ..., q_{n}(G)$ 分别为 $G$ 的拉普拉斯特征值和无符号拉普拉斯特征值，均按非增序排列。本文中，我们考虑 Grone 不等式 [R. Grone, Eigenvalues and degree sequences of graphs, Lin. Multilin. Alg. 39 (1995) 133--136] $$\sum_{i=1}^{k} \mu_{i}(G) \geq \sum_{i=1}^{k} d_{i}(G)+1$$ 并证明当 $k=2$ 时，等式成立当且仅当 $G$ 是星图 $S_{n}$。已知 Grone 不等式的无符号拉普拉斯版本在 $k=1$ 时成立。在本文中，我们证明该版本在 $k=2$ 时也成立，即 $$q_{1}(G)+q_{2}(G) \geq d_1(G)+d_2(G)+1$$ 等式成立当且仅当 $G$ 是星图 $S_{n}$ 或完全图 $K_{3}$。当 $k \geq 3$ 时，我们给出了一个反例。