Q-指数的最大值：退化图

设 $G$ 为 $n$ 阶 $k$-退化图。众所周知，$G$ 的边数不超过 $S_{n,k}$，即 $k$ 阶完全图与 $n-k$ 阶独立集的联图。本文指出，$S_{n,k}$ 对于 $G$ 的某些谱参数同样是极值的。更确切地说，令 $\mu\left( H\right)$ 和 $q\left( H\right)$ 分别表示图 $H$ 的邻接矩阵和无符号拉普拉斯矩阵的最大特征值，则除非 $G=S_{n,k}$，否则不等式 $$\mu\left( G\right) <\mu\left( S_{n,k}\right) \text{ 和 }q\left( G\right) <q\left( S_{n,k}\right)$$ 成立。后一不等式源于以下一般界，该界改进了关于 $q\left( G\right)$ 的一些先前界限：若 $G$ 是 $n$ 阶图，具有 $m$ 条边，最大度为 $\Delta$，最小度为 $\delta$，则 $$q\left( G\right) \leq\min\left\{ 2\Delta,\frac{1}{2}\left( \Delta +2\delta-1+\sqrt{\left( \Delta+2\delta-1\right) ^{2}+16m-8\left( n-1+\Delta\right) \delta}\right) \right\} .$$ 等号成立当且仅当 $G$ 是正则图，或者 $G$ 拥有一个 $\Delta+1$ 阶的连通分支，其中每个顶点的度为 $\delta$ 或 $\Delta$，且所有其他连通分支均为 $\delta$-正则。