最大化具有固定最小度的连通图的 $H$-染色数

对于图 $G$ 和 $H$，$G$ 的一个 $H$-染色是从 $G$ 的顶点到 $H$ 的顶点的保持边邻接关系的映射。我们考虑如下极值计数问题：对于给定的 $H$，哪个具有最小度 $\delta$ 的 $n$ 顶点连通图使得 $H$-染色的数量最大？我们证明对于非正则 $H$ 以及足够大的 $n$，完全二部图 $K_{\delta,n-\delta}$ 是唯一的极大化图。作为一个推论，对于非正则 $H$ 和足够大的 $n$，图 $K_{k,n-k}$ 是所有 $k$-连通图中唯一最大化 $H$-染色数的 $k$-连通图。最后，我们通过给出一个具有最小度 $\delta$ 的连通 $n$ 顶点图（在 $q$ 和 $n$ 足够大时）比 $K_{\delta,n-\delta}$ 具有更多 $K_{q}$-染色，表明该结论并非对所有正则 $H$ 成立。