树与2-连通图的极值H-染色

对于图$G$和$H$，$G$的一个$H$-染色是从$G$的顶点到$H$的顶点的保邻接映射。$H$-染色推广了图中的独立集与正常染色等概念。近期许多研究关注极值问题：在固定图族中寻找使$H$-染色数量最大化或最小化的图。本文证明了该领域的若干结果。首先，我们找到一类图$\mathcal{H}$，其性质为：对每个$H \in \mathcal{H}$，使$H$-染色数最小的$n$顶点树为路$P_n$。随后，我们给出Sidorenko定理的新证明（对大$n$成立）：对每个$H$，星图$K_{1,n-1}$是使$H$-染色数最大的$n$顶点树。我们的证明使用了稳定性技术，并借此证明对任意非正则$H$（及某些正则$H$），完全二部图$K_{2,n-2}$使$n$顶点2-连通图的$H$-染色数最大。最后，我们证明圈$C_n$使$n$顶点2-连通图的正常染色数最大。