长路径在树的 H-着色问题中不必最小化
组合数学
2025-10-22 v1
摘要
给定图 G 和目标图 H，H-着色是指从 G 到 H 的保持相邻性的顶点映射。通过合适选择 H，这些着色可以表达，例如 G 的独立集或proper顶点着色。Sidorenko 证明对于任意 H，n 顶数的星至少包含其他任何 n 顶数树的 H-着色数量，但最小化问题在一般情况下仍未解决。对于许多图 H，路径图是 H-着色最少的树之一，但 Leontovich 及随后 Csikv\'ari 和 Lin 的工作表明存在一个 7 顶数的图 E_7 和一个目标图 H，使得 E_7 的 H-着色数量严格少于 7 顶数的路径。我们引入一种新的策略，用于枚举类似路径的树对高度对称目标图的同构映射，使前面的观察结果完全显式化，并将其扩展到 n=7 之外的无限多个 n。特别是，我们构成一个目标图 H，使得对于每个足够大的 n，都存在一个 n 顶数的树 E_n，其 H-着色数量严格少于 n 顶数的路径。
关键词
引用
@article{arxiv.2510.18770,
title = {Long paths need not minimize $H$-colorings among trees},
author = {David Galvin and Emily McMillon and JD Nir and Amanda Redlich},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.18770},
year = {2025}
}
备注
17 pages, 3 figures