超图上色数的可近似性

超图 ${\cal H}=(X,{\cal E})$ 的 C-着色是一种顶点着色 $\varphi: X\to {\mathbb{N}}$，使得每条边 $E\in{\cal E}$ 至少有两个顶点具有相同颜色。相关参数 $\overline{\chi}({\cal H})$ 称为 ${\cal H}$ 的上色数，是指在 ${\cal H}$ 的 C-着色中可使用的最大颜色数。超树是指拥有一棵宿主树 $T$ 的超图，使得每条边 $E\in {\cal E}$ 在 $T$ 中诱导一个连通子图。符号 $n$ 和 $m$ 分别表示通用输入超图中的顶点数和边数。我们建立了差值 $n-\overline{\chi}({\cal H})$ 的保证多项式时间近似比：对于一般超图为 $2+2 \ln (2m)$，对于超树为 $1+ \ln m$。后者本质上是紧的，因为我们证明了除非 ${\sf NP} \subseteq {\sf DTIME} (n^{{\cal O}(log\;log\; n)})$，否则在超树类上 $n-\overline{\chi}({\cal H})$ 无法在 $(1-\epsilon) \ln m$ 因子内被近似。此外，除非 ${\sf P}={\sf NP}$，否则 $\overline{\chi}({\cal H})$ 不存在 ${\cal O}(n^{1-\epsilon})$-近似，且在超树类上无法在 $o(n)$ 的加法误差内被近似。