关于双超图的可着色性

一个混合超图 ${\cal H}=({\cal V},{\cal C},{\cal D})$ 由顶点集 ${\cal V}$ 和 $2^{{\cal V}}$ 的两个子集族组成：余边族 ${\cal C}$ 与边族 ${\cal D}$。若存在从 ${\cal V}$ 到正整数集的映射 $f$，使得对每个 $e\in {\cal C}$ 有 $|\{f(v):v\in e\}|<|e|$，且对每个 $e\in {\cal D}$ 有 $|\{f(v):v\in e\}|>1$，则称 ${\cal H}$ 是可着色的。存在不可着色的混合超图，且关于这些混合超图所知甚少。若余边集与边集相同，则称混合超图为双超图。本文中，我们首先应用 Lov\'asz 局部引理证明：任意 $r$-一致双超图，当 $r\ge 4$ 且每条边关联少于 $(r-1)^{r-1}e^{-1}-1$ 条其他边时可着色，其中 $e$ 为自然对数的底。进而我们证明，在所有不可着色的 $3$-一致双超图中，极小者的规模最小为十，回答了 Tuza 与 Voloshin 于 2000 年提出的一个问题。作为推广，我们对每个 $n\ge 6$ 给出了阶为 $n$、规模不超过 $\frac{7n}3-4$ 的极小不可着色 $3$-一致双超图。