超图的平衡独立集与着色

一个 $k$-一致超图 $H = (V, E)$ 称为 $k$-部图,如果 $V$ 可划分为 $k$ 个集合 $V_1, \ldots, V_k$,使得 $E$ 中每条边恰好包含每个 $V_i$ 中的一个顶点。若对每个 $i$ 有 $|V_i| = n$,我们称此类图为 $n$-平衡的。 $H$ 中的独立集 $I$ 称为平衡的,如果对每 $1 \leq i, j \leq k$ 有 $|I\cap V_i| = |I\cap V_j|$;着色称为平衡的,如果每个颜色类在 $H$ 中诱导出一个平衡独立集。在本文中,我们根据平均度 $D = |E|/n$ 给出平衡独立数 $\alpha_b(H)$ 的下界,并根据最大度 $\Delta$ 给出平衡色数 $\chi_b(H)$ 的上界。我们的结果恢复了 Chakraborti 近期关于 $k = 2$ 的工作。