Erd\H{o}s-R\'enyi 超图的平衡着色

一个 $r$ 均匀超图 $H = (V, E)$ 是 $r$ 部分图，如果存在顶点集合的划分使得每条边恰好包含每个部分中的一个顶点。我们称此类超图中的独立集为平衡的，如果它包含每个分区中等数量的顶点。$H$ 的平衡色数是指最小值为 $q$，使得 $H$ 允许一种proper $q$ 着色，其中每个颜色类都是平衡的独立集。在本文中，我们确定稀疏 $r$ 均匀 $r$ 部分图 Erd\H{o}s--R\'enyi 超图的平衡色数的渐近行为。我们证明的关键步骤是：任何平均度为 $d$ 的平衡可着色超图都 admit 一个以 $r(r-1)d + 1$ 颜色进行proper平衡着色。这扩展了 Feige 和 Kogan 关于二分图的结果到更一般的情境。