关于色数为3的超图团中边的最大数目

设 $H = (V,E)$ 为一个超图。超图 $H = (V,E)$ 的色数是指为 $V$ 中所有顶点着色所需的最小颜色数 $\chi(H)$，使得任意边 $e \in E$ 至少包含两个不同颜色的顶点。最后，如果一个超图的边两两相交，则称其为一个团。1973年，Erd\H{o}s 和 Lov\'asz 注意到，如果一个 $n$-一致超图 $H = (V,E)$ 构成一个团，则 $\chi(H) \in \{2,3\}$。他们引入了以下量：$$M(n) = \max \{|E|: \exists {\rm 一个} n-{\rm 一致} {\rm 团} H = (V,E) {\rm 且} \chi(H) = 3\}.$$ 显然，在 $\chi(H) = 2$ 的情况下，该定义没有意义。定理1 (P. Erdos, L. Lovasz) 不等式成立：$$n!(e-1) \le M(n) \le n^n.$$ 在过去的35年里，几乎没有取得更好的结果。同时，Lovasz 引入了另一个量 $r(n)$：$$r(n) = \max \{|E|: ~ \exists {\rm 一个} ~ n-{\rm 一致} ~ {\rm 团} ~ H = (V,E) ~ {\rm 使得} ~ \tau(H) = n\},$$ 其中 $\tau(H)$ 是 $H$ 的覆盖数，即 $$\tau(H) = \min \{|f|: ~ f \subset V, ~ \forall ~ e \in E ~ f \cap e \neq \emptyset\}.$$ 显然，对于任意 $n$-一致团 $H$，有 $\tau(H) \le n$，并且如果 $\chi(H) = 3$，则 $\tau(H) = n$。因此，$M(n) \le r(n)$。Lov\'asz 注意到 $r(n)$ 与定理1中的估计相同，并猜想下界是最优的。1996年，P. Frankl、K. Ota 和 N. Tokushige 否定了这一猜想，并证明了 $r(n) \ge (\frac{n}{2})^{n-1}$。我们发现了 $r(n)$（因此也是 $M(n)$）的一个新上界。定理2：$$M(n) \leq r(n) \le c n^{n-1/2} \ln n.$$ 其中 $c$ 是一个常数。