交叉数、着色与团

Albertson猜想：如果图$G$的色数为$r$，那么$G$的交叉数至少与完全图$K_r$的交叉数相同。在$r=5$的情况下，该猜想等价于四色定理。Oporowski和Zhao验证了$r=6$的情况。在本文中，我们利用Dirac、Gallai以及Kostochka和Stiebitz的结果（这些结果给出了临界图中边数的下界），以及Pach等人关于图交叉数在边数和顶点数方面的下界，证明了$7 \leq r \leq 12$时的猜想。