Hoffman-London 图：当路在树中最小化 $H$-着色时

给定图 $G$ 和目标图 $H$，$G$ 的 $H$-着色是从 $G$ 到 $H$ 的保持邻接关系的顶点映射。针对许多类的 $G$ 和 $H$，人们已经对 $G$ 的 $H$-着色数 $\hom(G,H)$ 进行了研究。特别是，当 $H$ 是团或 $G$ 是树时，最大化与最小化 $\hom(G,H)$ 的极值问题已被考虑。在本文中，我们开发了一种利用 $H$ 的自同构的新技术，证明了当 $T$ 在固定顶点数上的树中变化时，$\hom(T,H)$ 由路最小化。我们引入术语 Hoffman-London 来指代在此意义上极小的图。具体而言，我们定义了一个用于计算 $\hom(T,H)$ 的自同构相似矩阵，并给出了 $H$ 为 Hoffman-London 的矩阵条件。然后我们应用该技术识别了几个 Hoffman-London 图族，包括环阈值图以及一些在统计物理学中有应用的图（例如 Widom-Rowlinson 模型）。通过将我们的方法与其他一些观察相结合，我们完全刻画了三个或更少顶点的所有图 $H$ 的最小化树。