奇态同态与有界度图上的同态不可区分性

我们引入图的（弱）奇态同态，即带有基于奇偶性的附加约束的同态。这些映射具有有趣的性质（例如，它们保持平面性），尤其与同态不可区分性相关。若对所有 $F \in \mathcal{F}$ 均有 $\hom(F,G) = \hom(F,H)$，其中 $\hom(F,G)$ 为从 $F$ 到 $G$ 的同态个数，则称图 $G$ 与 $H$ 在族 $\mathcal{F}$ 上*同态不可区分*。Lov\'{a}sz 的一个经典结果表明，同构等价于在所有图类上的同态不可区分性。近年来已证明许多同态不可区分关系具有自然的代数和/或逻辑表述。目前该领域的诸多研究集中于寻找此类重构。我们旨在通过引入新概念/构造并提出若干猜想/问题来拓宽同态不可区分性的研究范围。特别地，我们猜想每个在 disjoint unions（不交并）与 minors（子式）下封闭的族都会产生一种不同的同态不可区分关系。我们还证明，若 $\mathcal{F}$ 是一个在 disjoint unions、连通分支限制以及弱奇态同态下封闭的图族，则 $\mathcal{F}$ 满足某种极大性或封闭性：在 $\mathcal{F}$ 上 $G$ 与 $H$ 的同态不可区分性并不意味着对任意 $F \notin \mathcal{F}$ 有 $\hom(F,G) = \hom(F,H)$。这使我们能够回答十多年前提出的一个问题，表明有界度图上的同态不可区分性不等价于同构。