同态不可区分性、重数自动机等价性与多项式恒等测试

如果两个图 $G$ 和 $H$ 从每个图 $F \in \mathcal{F}$ 接收的同态数量相同，则它们在图类 $\mathcal{F}$ 上是同态不可区分的。许多图同构松弛（如（量子）同构和共谱性）可以表征为在特定图类上的同态不可区分性。因此，判定在 $\mathcal{F}$ 上的同态不可区分性问题 $\textrm{HomInd}(\mathcal{F})$ 涵盖了各种图同构松弛，其复杂度从对数空间到不可判定不等。Seppelt (MFCS 2024) 建立了关于 $\textrm{HomInd}(\mathcal{F})$ 复杂度的第一个一般性结果，证明了对于每一个可在计数一元二阶逻辑 $\mathsf{CMSO}_2$ 中定义且有界树宽的图类 $\mathcal{F}$，$\textrm{HomInd}(\mathcal{F})$ 属于随机多项式时间。我们证明该算法是条件最优的，即除非多项式恒等测试属于 $\mathsf{PTIME}$，否则它不能被去随机化。对于有界路径宽度的 $\mathsf{CMSO}_2$ 可定义图类 $\mathcal{F}$，我们将 $\textrm{HomInd}(\mathcal{F})$ 的先前复杂度上界从 $\mathsf{PTIME}$ 改进为 $\mathsf{C}_=\mathsf{L}$，并证明这是紧确的。其次，我们建立了同态不可区分性与重数自动机等价性之间的联系，这使我们能够将后一问题的复杂度精确定位为 $\mathsf{C}_=\mathsf{L}$ 完全的。