同态计数的表达能力
组合数学
2021-06-02 v2 计算机科学中的逻辑
摘要
Lovász的一个经典结论断言，两个图和同构当且仅当它们具有相同的左轮廓（left profile），即对每个图，从到的同态数目与从到的同态数目一致。Dvorák以及后来的Dell、Grohe和Rattan表明，将左轮廓限制于某一图类可以刻画几种不同的同构松弛，包括带固定变量数的计数逻辑中的等价（其中包含分数同构作为特例）和共谱性（即两个图具有相同的特征多项式）。另一方面，Chaudhuri和Vardi的一个结论断言，同构也可由右轮廓（right profile）刻画，即两个图和同构当且仅当对每个图，从到的同态数目与从到的同态数目一致。在本文中，我们通过考察将右轮廓限制于固定图类所能或不能刻画的同构松弛，展开对右轮廓限制的研究。我们的结果揭示了左轮廓与右轮廓在表达能力上的显著差异。我们表明，分数同构、带固定变量数的计数逻辑中的等价以及共谱性均不能通过限制右轮廓于某图类来刻画。相反，我们表明色等价不能通过限制左轮廓于某图类来刻画，而显然它可通过限制右轮廓于所有团（clique）的类来刻画。
引用
@article{arxiv.2101.12733,
title = {On the Expressive Power of Homomorphism Counts},
author = {Albert Atserias and Phokion G. Kolaitis and Wei-Lin Wu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2101.12733},
year = {2021}
}
备注
27 pages, 2 figures