量子同构等价于平面图的同态计数相等

50多年前，Lovász证明了两个图同构当且仅当它们从任意图接纳相同数量的同态[Acta Math. Hungar. 18 (1967), pp. 321--328]。在本工作中，我们证明了两个图是量子同构的（在交换算子框架下）当且仅当它们从任意平面图接纳相同数量的同态。由于存在非同构但量子同构的图对，这意味着来自平面图的同态计数不能将图确定到同构意义下。另一个直接推论是：判定是否存在某个平面图到两个给定图具有不同数量的同态是一个不可判定问题，因为量子同构已知是不可判定的。我们对量子同构的刻画是通过基于平面图同态计数对图的量子自同构群的交织空间进行组合刻画而证明的。该结果启发了“图范畴”的定义，它类似于并推广了作为易量子群定义基础的划分范畴。因此我们引入了一类新的“图论量子群”，其交织空间由与（双标记）图相关联的映射张成。最后，我们利用关于量子同构的结果证明了对四色定理的一个有趣重构：任意平面图是4-可着色的当且仅当它到对称群 $S_4$ 上一个特定的Cayley图有同态，该Cayley图包含4个顶点的完全子图但不是4-可着色的。