图同态密度中线性不等式的不可判定性

本文旨在表明，即使是最基本的渐近极值图论问题也可能高度非平凡。我们研究图同态密度之间的线性不等式。用量子图的语言来说，此类不等式的有效性等价于相应量子图的正定性。类似于多项式的设定，可以表示为标记量子图平方和的量子图必然是正定的。Lovász 问其逆命题是否也成立。我们通过引入不满足所需条件的显式有效不等式，对这个问题以及 Razborov 的一个相关问题给出了否定回答。我们解决这些问题的方法基于从实多元多项式的归约，并利用了存在不能表示为多项式平方和的正多项式这一事实。已知判断多元多项式是否正定是可判定的。因此，很自然地会问：“判断同态密度之间线性不等式的有效性是否可判定？”我们对此问题给出否定回答，这表明此类不等式在其完全一般性下本质上是困难的。此外，我们由此推断，Artin 对希尔伯特第十七问题解答的类比在量子图设定中不成立。