有界树宽图的同态不可区分闭包性

若对所有 $F \in \mathcal{F}$ 均有 $\operatorname{hom}(F,G) = \operatorname{hom}(F,H)$（其中 $\operatorname{hom}(F,G)$ 表示从 $F$ 到 $G$ 的同态个数），则称两图在图类 $\mathcal{F}$ 上同态不可区分，记作 $G \equiv_{\mathcal{F}} H$。Lov\'{a}sz的一个经典结果表明，图之间的同构等价于在所有图类上的同态不可区分。近来，一系列工作针对某些受限图类给出了同态不可区分的自然代数和/或逻辑刻画。图类 $\mathcal{F}$ 是同态可区分闭的，如果对每个 $F \notin \mathcal{F}$，都存在图 $G$ 和 $H$ 使得 $G \equiv_{\mathcal{F}} H$ 且 $\operatorname{hom}(F,G) \neq \operatorname{hom}(F,H)$。Roberson猜想每个在取子式和 disjoint unions（不交并）下封闭的类都是同态可区分闭的，这蕴含每个此类类都定义了图之间的一个不同等价关系。在本注记中，我们对该猜想在类 $\mathcal{T}_k$（$k \geq 1$，包含所有树宽至多为 $k$ 的图）上予以证实。作为该结果的应用，我们还刻画了哪些子图计数被 $k$ 维 Weisfeiler-Leman 算法检测。这回答了 [Arvind et al., J. Comput. Syst. Sci., 2020] 中的一个开放问题。